Integral Tentu: Rumus, Teorema & Contoh Soal

 

Halo Reader's! 

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Pada kesempatan kali ini, kita akan menjelajahi dunia integral tentu dan menyingkap rumus, contoh soal, serta teorema yang terkait. Integral tentu merupakan salah satu konsep penting dalam matematika, yang memberikan kita kemampuan untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi, serta menemukan nilai rata-rata dari suatu fungsi pada interval yang ditentukan. Melalui artikel ini, kita akan mempelajari berbagai aspek yang terkait dengan integral tentu, memahami rumus yang digunakan, melihat beberapa contoh soal praktis, dan mengeksplorasi teorema yang memberikan dasar bagi pemahaman yang lebih mendalam. Ayo, mari kita mulai perjalanan kita ke dalam dunia integral tentu dan memperluas pengetahuan matematika kita bersama MathImpact!

_______________

INTEGRAL TENTU

Pengoperasian integral tentu mirip dengan pengoperasian integral tak tentu, dengan perbedaan bahwa dalam integral tentu, nilai batas integral bawah (a) dan batas integral atas (b) digunakan sebagai substitusi pada fungsi hasil integral. Dengan menggabungkan nilai-nilai batas ini ke dalam fungsi, kita dapat menghitung luas di bawah kurva fungsi atau menemukan nilai rata-rata fungsi dalam interval yang ditentukan. Dengan menggunakan nilai batas integral, integral tentu memberikan hasil yang spesifik dan terbatas, sementara integral tak tentu memberikan bentuk umum fungsi tersebut. Hal ini dapat diperhatikan melalui salah satu teorema yang terkait, yaitu Teorema Dasar Kalkulus. 

Teorema Dasar Kalkulus

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan `f` fungsi kontinyu pada selang `[a,b]` dan andaikan `F` fungsi sebarang anti turunan dari `f`, maka: 

          `\int_a^b  f(x)  dx = [F(x)]_a^b=F(b) -F(a) `

Contoh:

1. Hitunglah integral `\int_0^3 (x^2+3)  dx`

Penyelesaian:

`\int_0^3 (x^2+3) dx = [\frac (1) (3) x^3 + 3x]_0^3`

`\iff  [\frac (1) (3) (3)^3 + 3(3)] -  [\frac (1) (3) (0)^3 + 3(0)]`

`\iff 9+9-0=18` 

2. Hitunglah `\int_pi^0 sin x  dx`

Penyelesaian:

`\int_0^\pi sin  x  dx = [ - cos  x]_0^\pi`

`\iff - (cos  \pi - cos  0) `

`\iff - (-1 - 1) = 2`

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendeferensialan integral tentu, yaitu:

Jika `f` kontinu pada selang `[a,b]` dan `x` adalah sebuah (variabel) titik dalam `[a,b]`, maka:

                      `\frac (d) (dx) (\int_a^x f(t)  dt) = f(x) `

Keterangan:

`\frac (d) (dx) (\int_a^x f(t)  dt) = \frac (d) (dt) (F(t)) |_a^x = \frac (d) (dx) (F(x) - F(a)) = f(x) ` sebab `F(a)` adalah konstanta. 

Contoh:

`\frac (d) (dx) (\int_0^(x^2) (3t+1)  dt)= \frac (d) (dx) |\frac (3) (2) t + t|_0^(x^2)`

`\iff \frac (d) (dx) (\frac (3) (2) x^4 + x^2) `

`\iff 6x^3 + 2 x`

Rumus - Rumus Integral Tentu

Jika `f` dan `g` fungsi terintegralkan pada selang `[a,b]` dan `k` konstanta, maka:

1. `\int_a^b k f(x)  dx = k \int_a^b f(x) dx `
2. `\int_a^b (f(x) + g(x))  dx = \int_a^b f(x)  dx + \int_a^b g(x)  dx`
3. `\int_a^b (f(x) - g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b g(x) dx`
4. `\int_a^b f(x)   dx = - \int_b^a f(x)  dx, a>b`
5. `\int_a^c f(x)  dx = \int_a^b f(x)  dx + \int_b^c f(x)  dx,  ab \in [a,c]`

Contoh:

1.`\int_(-1)^2 (6x^2 - 4x) dx = \int_(-1)^2 6x^2  dx - \int_(-1)^2  4x^2  dx`

`\iff 2x^3 |_(-1)^2` - `2x^2|_(-1)^2`

`\iff 2(2^3 - (-1)^3) - 2(2^2-(-1)^2) =12`

2. Bila `|x|` menyatakan nilai mutlak, hitunglah `\int_(-1)^3  |x|  dx` 

Penyelesaian:

`f(x) =|x|` berubah nilainya pada titik `x=0`, sehingga harus diselesaikan sebagai berikut (lihat gambar):

`\int_(-1)^3 |x| dx `= `\int_(-1)^0 |x|  dx + \int_(0)^3  |x|  dx` 

`\iff \int_(-1)^0  (-x) dx + \int_0^3 x  dx = 1+3=4`

`\iff -\frac (1) (2) x^2|_(-1)^0` + `\frac (1) (2) x^2|_0^3`

`\iff -\frac (1) (2) + \frac (9) (2) =5`

Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata - Rata

• Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika `f(-x) = f(x)`, dan ganjil jika `f(-x) = - f(x)`. Untuk fungsi yang demikian berlaku:

1. `\int_(-a)^a  f(x)  dx=2 \int_0^a f(x)  dx`, jika `f` fungsi genap, 
2. `\int_(-a)^a  f(x)  dx=0`, jika `f` fungsi ganjil

Contoh:

`\int_(-5)^5  \frac (x^5) ((x^2+4))  dx=. . . `

`f(x) = \frac (x^5) ((x^2+4)) `

`f(-x) = \frac (-x^5) (((-x^2) +4)) = - \frac (x^5) ((x^2+4)) =-f(x) `

Karena, `f(-x) = - f(x)`, maka `f(x) = -\frac (x^5) ((x^2+4))` adalah fungsi ganjil, 

Sehingga, 

`\int_(-5)^5 \frac (x^5) ((x^2+4))  dx = 0.`

• Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan `p` sedemikiaan sehingga `f(x + p) = f(x)`, untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi `f`. Bilangan `p` adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika `f` suatu periodik dengan periode `p`, maka:

        `\int_(a+p)^(b+p)  f(x)  dx= \int_a^b  f(x)  dx`

Contoh:

Hitunglah `\int_0^(2\pi)  |sin x|  dx`

Penyelesaian: 

Karena `f(x) = |sin x|` fungsi periodik dengan periode `\pi`, maka, 

`\int_0^(2\pi) |sin x| dx = \int_0^\pi  |sin x|  dx +  \int_\pi^(2\pi)  |sin x|  dx`

`\iff  \int_0^\pi |sin x| dx + \int_(\pi+\pi)^(0+\pi) |sin x| dx`

`\iff  \int_0^\pi  |sin x|  dx +  \int_0^(\pi)  |sin x|  dx`

`\iff 2 \int_0^\pi  |sin x|  dx`

`\iff 2 \int_0^\pi  sin x  dx`

`\iff 2 (- cos x)|_0^\pi`

`\iff 2 (- cos \pi - (- cos 0)) `

`\iff 2 (-(1) -(-1)) `

`\iff 4`

• Teorema Nilai Rata - Rata Untuk Integral

Jika `f` fungsi kontinu pada selang `[a,b]`, maka terdapat suatu `c` diantara `a` dan `b` sedemikian sehingga:

                 `\int_a^b  f(x)  dx = f(c) (b-a) `

Contoh:

1. Carilah nilai `c` demikian sehingga `\int_1^3 f(x)  dx = f(c) (3-1)`,  jika `f(x) = x^2`.

Penyelesaian:

Dari `\int_1^3  f(x)  dx = \int_1^3  x^2  dx = \frac (26) (3)`, maka `f(c).2 = \frac (26) (3)`, yaitu  `c^2 .2 = \frac (26) (3)`    `c=\pm \frac (1) (3)  V  39`. Untuk `c=-\frac (1) (3)  V  39` tidak memenuhi  karena tidak terletak dalam selang ` [1, 3]`. Jadi `c= \frac (1) (3)  V  39.`

2. Carilah nilai rata - rata dari `f` pada `[1, 3]` jika `f(x) = x^2`

Penyelesaian:

Dari `\int_a^b f(x)  dx= f(c) (b-a) ` didapat `\frac (\int_a^b  f(x)  dx) (b-a)  =  f(c) `

Pada contoh 1. Diperoleh `\int_1^3  x^2  dx = \frac (26) (3)`. Jadi nilai rata - rata dari `f` pada `[1, 3]` adalah `N.R = \frac (\frac (26) (3)) (3-1) = \frac (13) (3)`. Dalam contoh 1, terlihat bahwa untuk fungsi ini,  `f(\frac (1) (3)  V  39) = \frac (13) (3). `

Terima kasih telah mengikuti artikel mathimpact tentang integral tentu! Dalam perjalanan ini, kita telah menjelajahi rumus, contoh soal, dan teorema terkait dengan integral tentu. Semoga artikel ini memberikan wawasan yang berharga dan dapat meningkatkan pemahaman para pembaca sekalian tentang integral tentu. Tetaplah semangat dalam memperluas pengetahuan matematika kalian, dan sampai jumpa di artikel - artikel selanjutnya di blog MathImpact!