Teknik Pengintegralan: Subtitusi Fungsi Trigonometri

 

Hai Reader's!

Selamat datang kembali di blog mathimpact! Pada kali ini mathimpact akan membahas salah satu teknik pengintegralan yakni subtitusi fungsi trigonometri. Tidak jarang kita menemui tantangan dalam memecahkan soal integral yang melibatkan fungsi dengan bentuk akar. Bentuk akar ini seringkali menjadi penyebab kesulitan dalam proses integrasi. Namun, jangan khawatir! Dengan menggunakan teknik integral yang tepat, kita dapat dengan mudah dan cepat menyelesaikan soal integral yang melibatkan bentuk akar ini.

Salah satu teknik yang berguna dalam menyelesaikan integral dengan bentuk akar adalah substitusi fungsi trigonometri. Dengan menggunakan substitusi ini, kita dapat mentransformasikan integral tersebut menjadi bentuk yang lebih mudah ditangani.

_________

SUBTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a.`\sqrt (a^2-x^2), a > 0, a \in Real` 

b. `\sqrt (x^2+a^2) = \sqrt (a^2+x^2), a > 0, a \in Real`

c. `\sqrt (x^2-a^2), a > 0, a \in Real`

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

`\sqrt (a^2-b^2x^2)=\sqrt ((\frac (a) (b)) ^2 - x^2)`

`\sqrt (a^2+b^2x^2)=\sqrt ((\frac (a) (b)) ^2+x^2)`

`\sqrt (a^2 x^2 - b^2) = \sqrt (x^2 - (\frac (b) (a)) ^2`  atau `\sqrt (ax^2+bx+c)` yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna. 

Bentuk integrannya diantaranya, 

1.`\sqrt (a^2-x^2)` gunakan subtitusi 

`x=a sin t` atau `sin t = \frac (x) (a)`

`x=a sin t \leftrightarrow dx = a cos t  dt`

Dengan `-\frac (π) (2) ≤ t≤ \frac (π) (2)` sehingga, 

`\sqrt (a^2-x^2) = \sqrt (a^2 - (a sin t)^2)`

`= \sqrt (a^2(1-sin^2 t)`

`= a cos t`

2. `\sqrt (a^2+x^2)` gunakan subtitusi

`x = a tan t` atau `tan t = \frac (x) (a)`

`x= a tan t \leftrightarrow dx=a sec^2 t  dt`

Dengan `-\frac (π) (2) ≤ t≤ \frac (π) (2)` sehingga,

 

`\sqrt (a^2+x^2) = \sqrt (a^2 + (a tan t)^2)`

`= \sqrt (a^2(1+tan^2 t)`

`= a sec t`

3. `\sqrt (x^2-a^2)` gunakan subtitusi 

`x=a sec t` atau `sec t = \frac (x) (a)`

`x=a sec t \leftrightarrow dx= a sec t tan t  dt`

Dengan `0 ≤ t < \frac (π) (2) ; (x≥a)` dan `\frac (π) (2) ≤ t ≤ π; (x ≤-a)` sehingga, 

`\sqrt (x^2-a^2) = \sqrt ((a sec t)^2 - a^2)`

`= \sqrt (a^2 sec^2 t - a^2)`

`= a tan t`

Catatan:

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu `cos t, tan t, cot t, sec t,`dan `csc t`. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi - fungsi tersebut.

CONTOH:

1.  `\int \frac (dx) (\sqrt (9+x^2)`

Subtitusikan `x = 3 tan t \leftrightarrow dx= 3 sec^2 t  dt`

`\sqrt (9+x^2) = \sqrt (9+9 tan^2 t )= 3 sec t`

Sehingga `\int \frac (dx) (9+x^2) = \int \frac (3 sec^2 t  dt) (3 sec t)`

`= \int sec t  dt`

`= ln |sec t + tan t| + C`

`= ln |\frac (\sqrt (9+x^2)) (3) + \frac (x) (3)| + C`

`= ln |\sqrt (9+x^2) + x| + C`

2.  `\int \frac (\sqrt (x^2+9)) (x) dx`

Subtitusikan `x= 3 sec t \leftrightarrow dx= 3 sec t tan t  dt`

`\sqrt (x^2-9) = 3 tan t`

Sehingga`\int \frac (\sqrt (x^2+9)) (x) dx`=`\int \frac (3 tan t) (3 sec t)  (3 sec t tan t  dt)`

`= 3 \int tan^2 t  dt`

`= 3 \int (sec^2 t - 1)  dt`

`= 3 tan t - 3 t + C`

`= 3 \frac (\sqrt (x^2-9)) (3) - 3  arc  sec  \frac (x) (3) + C`

Terima kasih telah membaca blog ini, semoga informasi ini bermanfaat bagi para pembaca sekalian. Tetaplah berlatih dan eksplorasi dalam dunia matematika. Sampai jumpa di artikel berikutnya!