Aplikasi Integral: Luas Daerah Bidang Datar

 

Haii Reader's! 

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas topik yang menarik yaitu aplikasi integral tertentu dalam menghitung luas daerah pada bidang datar. Integral tertentu memiliki peran yang sangat penting dalam matematika, dan kali ini kita akan menjelajahi bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk mengukur luas bidang datar dengan presisi yang luar biasa. Jadi, mari kita mulai perjalanan kita dalam dunia integral tertentu dan menemukan bagaimana matematika dapat memberikan wawasan baru tentang luas daerah pada bidang datar yang mungkin belum pernah kalian duga sebelumnya. Siapkan diri kalian untuk menemukan aplikasi praktis yang menakjubkan dari integral tertentu dalam menghitung luas daerah!

_______________

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU: LUAS DAERAH BIDANG DATAR

Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada artikel - artikel sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:

A. LUAS SUATU LUASAN

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang `XOY` dengan persamaan `y = f(x) `  atau `x = g(y) ` atau `y = f(x), x= g(y) ` yang berbatasan dengan sumbu - sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan `y = f(x)` dan sumbu - sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu-`x` atau luasan dengan persamaan `x = g(y) ` dan sumbu - sumbu koordinat yang terletak di sebelah kanan sumbu-`y`.

Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud:

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y = f (x) ` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu-`x` atau luasan dengan persamaan `x = g(y)` dan sumbu - sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu-`y`. 

Berikut ini gambar luasan negatif tersebut:

Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2 = f(x)` dan `y_2 = g(x)`. Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral

untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini:

`R` sebagaimana terlihat pada gambar 3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva - kurva `y = f(x)`, `x = a`, `x=b`. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan `R` dinyatakan dengan, 

`A (R) = \int_a^b  f(x)  dx` 

Jika luasan terletak di bawah sumbu-`x`, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena

luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk, 

`A (R) = \int_a^b  -  f(x)  dx = |\int_a^b  f(x)  dx|`

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

1. Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas - batasnya dan mudah dilihat.
2. Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu-`x` atau sumbu-`y`, selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.
3. Aproksimasikan luas masing - masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang.
4. Jumlahkan aproksimasi dari luas masing - masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.
5. Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing - masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.

Contoh Soal:

1. Segitiga ABC terletak pada `XOY`, titik - titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius

yaitu `A(0,0)`, `B(3,0)`, `C(3,7)`. Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Penyelesaian:

Gambar segitiga ABC adalah, 

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus, 

`\frac (y - y_A) (x - x_A)` = `\frac (y_C - y_A) (x_C - x_A)`

Diperoleh persamaan `\frac (y - 0) (x - 0)` = `\frac (7 - 0) (3 - 0)`

` 3y = 7x` atau `y = \frac (7) (3) x`

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan `A (R) = \int_a^b  f(x)  dx`

`\iff \int_0^3  \frac (7) (3) x  dx= \frac (7) (6) x^2|_0^3 = \frac (7) (6) . 9 = 10, 5  satuan  luas`

2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y = 4-x^2` dan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:

Luasan `y = 4-x^2` yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah, 

Perhatikan gambar di atas luasan yang diketahui `R` berada di atas sumbu-`x` sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral, yaitu:

`A (R) = \int_a^b  f(x)  dx`

`\iff \int_(-2)^2  (4-x^2)  dx`

`\iff 2 \int_0^2  (4-x^2)  dx`

`\iff 2(4x - \frac (1) (3) x^3)_0^2`

`\iff 2(4 . 2 - \frac (1) (3) . 2^3) - 2(4 . 0 - \frac (1) (3) . 0^3) `

`\iff 2(8-\frac(8) (3)) = \frac (32) (3) `

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini:

Luasan `R` pada gambar di atas dibatasi oleh kurva `x = g(y)`, `y = c`, `y = d`, dan `x = 0`.

Dengan integral tertentu luasan `R` yang berada disebelah kanan sumbu-`x` dinyatakan dalam bentuk, 

`A(R) = \int_c^d  g(y)  dy`

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu-`x`, maka integral tertentu di atas bernilai negatif,

karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan,

sehingga diperoleh:

`A(R) = \int_c^d - g(y) dx = |\int_c^d  g(y)  dy|`

Contoh Soal

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `x = y^2` dan garis `y = -2`, `y = 2`

Penyelesaian:

Luasan `x = y^2` dan garis `y = -2`, `y = 2` dapat digambarkan sebagai berikut

Sehingga luas luasan tersebut adalah, 

`A (R) = \int_c^d  g(y)  dy`

`\iff  \int_(-2)^2  y^2  dy`

`\iff 2 \int_0^2  dy`

`\iff 2(\frac (1) (3) y^3)_0^2 = \frac (16) (3)`

b. Daerah antara Dua Kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatasnya adalah`y = f (x)` dan`y = g(x)` dengan `f (x) ≥ g(x)` pada selang `[a,b]`. Seperti halnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

Perhatikan gambar berikut ini.

`\Delta A \approx (f(x) - g(x)) \Delta x`

Sehingga luasan dinyatakan dengan:

`A (R) = \int_a^b  (f(x) - g(x)  dx`

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu-`x` , jika luasannya disebelah kanan sumbu-`y`, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan, 

`A (R) = \int_c^d  (f(y) - g(y))  dy`

Sampai di sinilah perjalanan kita dalam mempelajari aplikasi integral tertentu dalam menghitung luas daerah bidang datar. Semoga melalui artikel ini, Anda telah mendapatkan pemahaman yang lebih dalam tentang konsep integral tertentu dan bagaimana ia dapat diterapkan dalam praktik untuk mengukur luas daerah dengan akurasi yang tinggi. Matematika memang selalu menyajikan keajaiban dan aplikasi yang menarik, dan integral tertentu adalah salah satu alat yang kuat dalam arsenalmu. Teruslah menjelajahi dunia matematika dan temukan keindahan di balik rumus dan persamaan. Jangan lupa untuk tetap mengunjungi blog MathImpact untuk lebih banyak topik menarik seputar matematika dan dampaknya dalam kehidupan sehari-hari. Terima kasih telah membaca, dan sampai jumpa di artikel selanjutnya!