Integral Tak Wajar: Pembahasan & Contoh Soal

 

Hai Reader's! 

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Pada kesempatan kali ini, mathimpact akan memperkenalkan konsep menarik dalam matematika yang dikenal sebagai integral tak wajar. Integral tak wajar merupakan suatu konsep yang meluas dari integral tentu yang biasa kita temui dalam kalkulus. Dalam integral tak wajar, batas atas atau batas bawah integral dapat berupa bilangan tak terhingga atau fungsi yang tidak terbatas. Konsep ini memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, termasuk fisika, statistika, dan teori probabilitas. Mari kita mulai menjelajahi dunia integral tak wajar yang menarik ini dan memahami bagaimana konsep ini dapat memberikan wawasan baru yang menarik dalam pemodelan matematika dan pemecahan masalah yang kompleks.

____________

INTEGRAL TAK WAJAR

Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema:

Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada `I = [a,b]`, dan `F(x)` sebarang antiturunan pada `I`, maka: 

 `\int_a^b  f(x)  dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)`

Contoh:

1.`\int_2^4 (1-x)  dx = [x - \frac (1) (2) x^2 ]_2^4`

`\iff (4 - \frac (1) (2) . 16) - (2-\frac (1) (2) . 4)`

`\iff - 4 - 0`

`\iff - 4`

2. `\int_1^2 \frac (dx) (\sqrt (1-x))`, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran `f(x) = \frac (1) (\sqrt (1-x))` tidak terdefinisi pada `x=1`.

Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 2 dikategorikan sebagai integral tidak wajar. 

Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran `f(x)` mempunyai sekurang - kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di `[a, b]`,  sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `\int_a^b f(x)  dx = F(b) - F(a)` tidak berlaku lagi. 

Contoh:

1.  `\int_0^4 \frac (dx) (4-x)`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` atau `f(x)` kontinu di `[0, 4)` 
2. `\int_1^2 \frac (dx) (\sqrt (x-1))`, `f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x=1` atau `f(x)` kontinu di `(1, 2]`
3. `\int_0^4 \frac (dx) ((2-x)^\frac (2) (3)`, `f(x)` tidak kontinu di `x=2 \in [0, 4]` atau `f(x)` kontinu di `[0, 2) \cup (2, 4]`

b. Batas integrasi nya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

Contoh:

1. `\int_0^\infty  \frac (dx) (x^2+4)`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty`
2.  `\int_(-\infty)^0  e^(2x)  dx`,  integran `f(x)` memuat batas bawah di `x= - \infty`
3.  `\int_(-\infty)^(\infty)  \frac (dx) (1+4x^2)`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty`

Pada contoh a (1, 2, 3) adalah integral tak wajar dengan integran `f(x)` tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran `f(x)` mempunyai batas di tak hingga `(\infty)`.

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu dan Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

Integral Tak Wajar dengan Integran Diskontinu

a. `f(x)` kontinu di [a, b) dan tidak kontinu di `x = b`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x=b`, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x=b-\epsilon  (\epsilon \to 0^+)`, sehingga:

`\int_a^b  f(x)  dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^(b-\epsilon)  f(x)  dx`

Karena batas atas `x=b-\epsilon  (x \to b^-)`, maka:

`\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)   dx`

Perhatikan contoh berikut:

1. `\int_(-2)^2  \frac (dx) (\sqrt (4-x^2))`,  `f(x) = \frac (1) (\sqrt (4-x^2))`

Fungsi di atas tidak kontinu di `x=2` dan `x=-2`, sehingga:

`\int_(-2)^2 \frac (dx) (\sqrt (4-x^2)) =2  \int_0^2  \frac (dx) (\sqrt (4-x^2))`

`\iff 2 \int_0^2 \frac (dx) (\sqrt (4-x^2))`

`\iff 2[\lim_{\epsilon \to 0^+} arcsin  \frac (x) (2) ]_0^(2-\epsilon)`

`\iff 2 (\frac (\pi) (2) - 0)`

`iff \pi` 

2. `\int_0^4 \frac (dx) ((4-x)^(\frac (3)(2))` =`\lim_{\epsilon \to 0^+} \frac (2) (\sqrt (4-x)) ]_0^(4-\epsilon`, jika `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` sehingga diperoleh, 

`\int_0^4 \frac (dx) ((4-x)^(\frac (3) (2))` = `\lim_{\epsilon \to 0^+} [\frac (2) (\sqrt (4-(4-\epsilon))) - \frac (2) (\sqrt (4-0)) ]`

`\iff`tidak berarti, karena mempunyai bentuk `\frac (2) (0)`

b. `f(x)` kontinu di `(a, b]` dan tidak kontinu di `x=a`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x=a`, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=a+\epsilon  (\epsilon \to 0^+)`, sehingga:

`\int_a^b  f(x)  dx = \lim_{\epsilon \to 0^+}  \int_(a+\epsilon)^b  f(x)  dx`

Karena batas bawah `x=a + \epsilon  (x \to a^-)` maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

`\int_a^b  f(x)  dx = \lim_{t \to a^+}  \int_t^b  f(x)   dx`

Perhatikan contoh berikut:

`\int_0^1  \frac (dx) (\sqrt (x)) =\lim_{\epsilon \to 0^+}  \int_(0+\epsilon)^1  \frac (dx) (\sqrt (x))`, `f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x = 0` sehingga diperoleh:

`\int_0^1 \frac (dx) (\sqrt (x)) = \lim_{\epsilon \to 0^+}   [2 \sqrt (x) ]_(0+\epsilon)^1`

`\iff  \lim_{\epsilon \to 0^+} [2 \sqrt (1) - 2 \sqrt (0+\epsilon) ]`

`\iff 2-0`

`\iff 2`

c. `f(x)` kontinu di `[a, c) \cup (c, b]` dan tidak kontinu di `x=c`

Karena `f(x)` tidak terdefinisi di `x = c`, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x = c + \epsilon` dan `x=c - \epsilon (\epsilon \to 0^+)`, sehingga:

`\int_a^b  f(x)  dx = \int_a^c  f(x)  dx + \int_c^b  f(x)  dx`

`\iff \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^(c-\epsilon)  f(x)  dx + \lim_{\epsilon \to 0^+}  \int_(c-\epsilon)^b  f(x)  dx`

Dapat juga dinyatakan dengan:

`\int_a^b f(x) dx =  \lim_{t \to b^-} \int_a^t  f(x) dx + \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) dx`

Perhatikan contoh berikut:

1. `\int_(-1)^8  x^(-\frac (1) (3)) dx`,  `f(x)` tidak kontinu di `x = 0`, sehingga diperoleh

`\int_(-1)^0 x^(-\frac (1) (3)) dx + \int_(0)^8 x^(-\frac (1) (3))  dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_(-1)^(0-\epsilon)  x^(-\frac (1) (3))  dx +  \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_(0+\epsilon)^8  x^(-\frac (1) (3)) dx`

`\iff  \lim_{\epsilon \to 0^+} [\frac (3) (2) x^(\frac (2) (3)) ]_(-1)^(0-\epsilon) +  \lim_{\epsilon \to 0^+}  [\frac (3) (2) x^(\frac (2) (3)) ]_(0+\epsilon)^8`

`\iff  -\frac (3) (2) + 6`

`\iff \frac (9) (2)`

2. `\int_(-1)^1 \frac (dx) (x^4)`, `f(x)` diskontinu di `x = 0`, sehingga diperoleh:

`\int_(-1)^1 \frac (dx) (x^4) = \int_(-1)^0 \frac (dx) (x^4) + \int_(0)^1 \frac (dx) (x^4)`

`\iff \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_(-1)^(0-\epsilon) \frac (dx) (x^4) + \lim_{\epsilon \to 0^+) \int_(0+\epsilon)^1 \frac (dx) (x^4)`

`\iff  \lim_{\epsilon \to 0^+} [\frac (-1) (3x^3)]_(-1)^(0-\epsilon) + \lim_{\epsilon \to 0^+} [\frac (-1) (3x^3)]_(0+\epsilon)^(8)`

`\iff` tidak berarti karena memuat bentuk `\frac (1) (0)`

Integral Tak Wajar dengan Batas Tak Hingga

Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas

integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang

integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Intergral tak wajar dengan batas atas `x = \infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variabel dimana variabel tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk:

`\int_a^\infty  f(x)  dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)  dx`

Perhatikan contoh berikut ini:

`\int_0^\infty \frac (dx) (x^2 +1) = \lim_{t \to \infty} \int_0^t \frac (dx) (x^2 +4)`

`\iff \lim_{t \to \infty} [ \frac (1) (2)  arctan  \frac (x) (2) ]_0^t`

`\iff \lim_{t \to \infty} [ \frac (1) (2)  arctan  \frac (t) (2) - \frac (1) (2) arctan 0]`

`\iff (\frac (1) (2) .  \frac (\pi) (2) - \frac (1) (2) . 0)`

`\iff \frac (\pi) (4)`

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x = -\infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variabel dimana

variabel tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar

dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

`\int_(-\infty)^a  f(x)  dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^a  f(x)  dx`

Perhatikan contoh berikut ini:

`\int_(- \infty)^0  e^(2x)  dx = \lim_{t \to -\infty} [\frac (1) (2)  e^(2x) ]_t^0`

`\iff  \lim_{t \to -\infty} [\frac (1)(2) . 1 - \frac (1) (2) e^(2t) ]`

`\iff \frac (1) (2) - 0`

`\iff \frac (1) (2)`

c. Integral tak wajar batas atas `x = \infty` dan batas bawah di `x = -\infty`

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan `\int_(-\infty)^\infty  f(x)  dx = \int_(-\infty)^a  f(x)  dx + \int_a^\infty f(x)  dx`, sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara `a` dan `b` tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

 `\int_(-\infty)^\infty f(x) dx = \int_(-\infty)^a f(x) dx + \int_a^\infty f(x) dx`

`\iff \lim_{t \to -\infty } \int_t^a  f(x)  dx +  \lim_{t \to \infty } \int_a^t f(x)   dx`

Perhatikan contoh berikut:

`\int_(-\infty)^\infty  \frac (dx) (1 + 4x^2) = \int_(-\infty)^0 \frac (dx) (1 + 4x^2) + \int_0^(-\infty)  \frac (dx) (1 + 4x^2)`

`\iff lim_{t \to -\infty } [arctg  4x]_t^0 + lim_{t \to \infty } [arctg  4x]_0^t`

`\iff \frac (\pi) (2)`

Sekarang, dengan pemahaman tentang integral tak wajar yang kita peroleh, mari kita lanjutkan perjalanan matematika kita dengan keingintahuan yang terus berkembang dan semangat penemuan yang tak terbatas. Teruslah menjelajahi dan menerapkan konsep ini dalam pemodelan matematika dan pemecahan masalah yang kompleks, karena integral tak wajar membuka pintu menuju wawasan baru dan pemahaman yang lebih dalam tentang keajaiban matematika. Selamat berkreasi dan selamat mengeksplorasi dunia integral tak wajar yang menantang dan menarik ini!