Cari Blog Ini
“Mathematics is the key and door to the sciences.” — Galileo Galilei
Unggulan
- Dapatkan link
- X
- Aplikasi Lainnya
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Hai semuaa~
Apakah kalian masih ingat materi tentang integral dan trigonometri? Ternyata kedua materi tersebut bisa digabungkan menjadi topik yang akan kita bahas kali ini. Pada artikel sebelumnya mathimpact telah membahas mengenai Integral Tak Tentu, nah pada artikel kali ini mathimpact akan membahas mengenai integral tak tentu fungsi trigonometri. Nah sebelum lebih jauh, mari kita bersama-sama mengingat kembali definisi integral dan trigonometri.
Integral disebut juga dengan anti-differential atau kebalikan dari turunan. Sedangkan integral tak tentu (Indefinite Integral) merupakan suatu fungsi baru yang turunannya merupakan fungsi aslinya dan tidak memiliki batas.
Trigonometri merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas relasi antar sisi dan sudut segitiga, khususnya segitiga siku-siku. Nah, berdasarkan pengertian dari integral dan trigonometri tersebut, maka kita dapat mendefinisikan pengertian integral tak tentu fungsi trigonometri.
"Integral tak tentu fungsi trigonometri adalah bentuk integral yang integrannya berberbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapanintegrasi yang disimbolkan dengan huruf C".
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.
Bentuk dasar tersebut adalah:
1. ∫sinxdx=−cosx+C
2. ∫cosxdx=sinx+C
3. ∫tanxdx=ln|secx|+C=−ln|cosx|+C
4. ∫cotxdx=−ln|cscx|+C=ln|sinx|+C
5. ∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
6. ∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
A. ∫sinmxdx dan ∫cosmxdx dengan m bilangan ganjil atau genap positif.
- Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi (m−1)+1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas sin2x+cos2x=1.
Contoh:
∫sin3xdx
Jawab:
∫sin3xdx = ∫sin(3−1)+1 x dx
= ∫sin2xsinxdx
= ∫(1−cos2x)d(−cosx)
= ∫1d(−cosx)+∫cos2d(cosx)
= −cosx+13cos3x+C
- Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan identitas:
sin2x=1-cos2x2 dan cos2x=1+cos2x2
Contoh:
∫sin2xdx
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
∫sin2xdx = ∫1-cos2x2dx
= ∫12dx−∫12cos2xdx
= x2−sin2x4+C
B. ∫sinmxcosnxdx
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sinx atau cosx dengan menggunakan kesamaan identintas sin2x+cos2x=1.
Contoh :
∫sin2xcos3xdx
Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap
∫sin2xcos3xdx =∫sin2xcos2xcosxdx
= ∫sin2x(1−sin2x)d(sinx)
= ∫sin2xd(sinx)−∫sin4xd(sinx)
=13sin3x−15sin5x+C
C. ∫tannxdx dan ∫cotnxdx
- Untuk kasus ∫tannxdx, faktorkan tanx kemudian gunakan identitas tan2x=sec2x−1
- Untuk kasus ∫cotnxdx, faktorkan cotx kemudian gunakan identitas cot2x=csc2x−1
Perhatikan contoh berikut:
∫tan3xdx
Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas1+tan2x=sec2x, sehingga diperoleh
∫tan3xdx = ∫tan2xtanxdx
= ∫(sec2x−1)tanxdx
= ∫sec2tanxdx − ∫tanxdx
= ∫tanxsec2xdx−ln|secx|+C
= ∫tanxd(tanx)−ln|secx|+C
= 12tan2x−ln|secx|+C
D. ∫tanmxsecnxdx dan ∫cotmxcscnxdx
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1+tan2x=sec2x atau 1+cot2x=csc2x. Begitu juga dengan ganjil.
Contoh :
∫tan5xsec4xdx
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x=sec2x, sehingga diperoleh
∫tan5xsec4xdx = ∫tan5x(sec2x)2dx
= ∫tan5x(1+tan2x)sec2xdx
= ∫(tan5x+tan7x)d(tanx)
= 16tan6x+18tan8x+C
E. ∫sinmxcosnx dx, ∫sinmxsinnx dx, ∫cosmxcosnx dx
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
- sinmxcosnx dx =12[sin(m+n)x+sin(m−n)x]
- sinmxsinnx dx =−12[cos(m+n)x−cos(m−n)x]
- cosmxcosnx dx =12[cos(m+n)x+cos(m−n)x]
Contoh:
∫sin3xcos4x dx = ∫12[sin(3+4)x+sin(3−4)x]dx
= 12∫sin7x+sin(−x)dx
= −114cos7x−12cosx+C
Itulah tadi informasi yang dapat mathimpact bagikan di blog ini. Semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca. Jangan lupa tinggalkan komentar atau pertanyaan di kolom komentar agar kita dapat berdiskusi lebih lanjut. Terima kasih telah membaca, sampai jumpa di artikel selanjutnya.
berberbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dariintegral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umumyang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan
integrasi yang disimbolkan dengan huruf C
- Dapatkan link
- X
- Aplikasi Lainnya
Postingan Populer
Aplikasi Integral: Luas Daerah Bidang Datar
- Dapatkan link
- X
- Aplikasi Lainnya
Aplikasi Integral: Volume Benda Putar (Bagian 2)
- Dapatkan link
- X
- Aplikasi Lainnya
Komentar
Posting Komentar