Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

 

Hai semuaa~

Apakah kalian masih ingat materi tentang integral dan trigonometri? Ternyata kedua materi tersebut bisa digabungkan menjadi topik yang akan kita bahas kali ini. Pada artikel sebelumnya mathimpact telah membahas mengenai Integral Tak Tentu, nah pada artikel kali ini mathimpact akan membahas mengenai integral tak tentu fungsi trigonometri. Nah sebelum lebih jauh, mari kita bersama-sama mengingat kembali definisi integral dan trigonometri. 

Integral disebut juga dengan anti-differential atau kebalikan dari turunan. Sedangkan integral tak tentu (Indefinite Integral) merupakan suatu fungsi baru yang turunannya merupakan fungsi aslinya dan tidak memiliki batas. 

Trigonometri merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas relasi antar sisi dan sudut segitiga, khususnya segitiga siku-siku. Nah, berdasarkan pengertian dari integral dan trigonometri tersebut, maka kita dapat mendefinisikan pengertian integral tak tentu fungsi trigonometri.

"Integral tak tentu fungsi trigonometri adalah bentuk integral yang integrannya berberbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapanintegrasi yang disimbolkan dengan huruf C".

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.

Bentuk dasar tersebut adalah: 

1. `\int sin x dx = − cos x + C`

2. `\int cos x dx = sin x + C`

3. `\int tan x dx = ln |sec x| + C = − ln |cos x|+ C`

4. `\int cot x dx = − ln |csc x| + C = ln |sin x| + C`

5. `\int sec x dx = ln |sec x + tan x| + C`

6. `\int csc x dx = ln |csc x − cot x| + C`

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. ` \int sin^m x dx` dan `\int cos^m x dx` dengan `m` bilangan ganjil atau genap positif.  

•  Jika `m` bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi `(m − 1) + 1`, atau `m` digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas `sin^2 x + cos^2 x = 1.`

Contoh:

`\int sin^3 x dx`

Jawab:

`\int sin^3 x dx` = `\int sin^((3−1)+1)  x  dx`

= `\int sin^2 x sin x dx`

= `\int (1 − cos^2 x) d(− cos x)`

= `\int 1 d(− cos x) + ∫ cos^2 d(cos x)`

= `− cos x + \frac (1)(3) cos^3 x + C`

•  Jika `m` bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan identitas:

`sin^2 x= \frac (1-cos 2x)(2)` dan `cos^2 x= \frac (1+cos 2x) (2)`

 Contoh:

`\int sin^2 x dx`

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

`\int sin^2 x dx` = `∫\frac (1-cos 2x) (2) dx`

= `\int \frac (1)(2) dx − ∫\frac (1)(2) cos 2x dx`

= `\frac (x)(2) − \frac (sin 2x)(4) + C`

B. `\int sin^m x cos^n x dx`

Jika `m` atau `n` bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan `sin x` atau `cos x` dengan menggunakan kesamaan identintas `sin^2 x + cos^2 x = 1`.

Contoh :

`\int sin^2 x cos^3 x dx`

Karena `n` ganjil, maka ubah menjadi genap

`\int sin^2 x cos^3 x dx` =`\int sin^2 x cos^2 x cos x dx`

= `\int sin^2 x(1 − sin^2 x) d(sin x)`

= `\int sin^2 x d(sin x) − \int sin^4 x d(sin x)`

=`\frac (1)(3) sin^3 x − \frac (1)(5) sin^5 x + C`

C. `\int tan^n x dx` dan `\int cot^n x dx`

•  Untuk kasus `\int tan^n x dx`, faktorkan `tan x` kemudian gunakan identitas `tan^2 x = sec^2 x − 1`
•  Untuk kasus `\int cot^n x dx`, faktorkan `cot x` kemudian gunakan identitas `cot^2 x = csc^2 x − 1`

Perhatikan contoh berikut:

`\int tan^3 x dx`

Karena pangkat `n` ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas` 1 + tan^2 x = sec^2 x`, sehingga diperoleh

`\int tan^3 x dx` = `\int tan^2 x tan x dx`

= `\int (sec^2 x − 1) tan x dx`

= `\int sec^2 tan x dx` − `\int tan x dx`

= `\int tan x sec^2 x dx − ln |sec x| + C`

= `\int tan x d(tan x) − ln |sec x| + C`

= `\frac (1)(2) tan^2 x − ln |sec x| + C`

D. `\int tan^m x sec^n x dx` dan `\int cot^m x csc^n x dx`

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu `n` genap `m` sebarang dan `m` ganjil `n` sebarang. Jika `n` genap dan `m` sebarang gunakan kesamaan `1 + tan^2 x = sec^2 x` atau `1 + cot^2 x = csc^2 x`. Begitu juga dengan ganjil.

Contoh :

`\int tan^5 x sec^4 x dx`

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas `1 + tan^2 x = sec^2 x`, sehingga diperoleh

`\int tan^5 x sec^4 x dx` = `\int tan^5 x (sec^2 x)^2 dx`

= `\int tan^5 x (1 + tan^2 x) sec^2 x dx`

= `\int (tan^5 x + tan^7 x) d(tan x)`

= `\frac (1)(6) tan^6 x + \frac (1)(8) tan^8 x + C`

E. `\int sin mx cos nx  dx`, `\int sin mx sin nx  dx`, `\int cos mx cos nx  dx`

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

•  `sin mx cos nx  dx` =`\frac (1)(2) [sin(m + n) x + sin(m− n) x]`
• `sin mx sin nx  dx` =`− \frac (1)(2) [cos (m + n) x − cos (m − n) x]`
•  `cos mx cos nx  dx` =`\frac (1)(2) [cos (m + n) x + cos (m − n) x]`

Contoh:

`\int sin 3x cos 4x  dx` = `\int \frac (1)(2) [sin (3 + 4) x + sin (3 − 4)x ] dx`

= `\frac (1)(2)\int sin 7x + sin(−x) dx`

= `− \frac (1)(14) cos 7x − \frac (1) (2) cos x + C`

Itulah tadi informasi yang dapat mathimpact bagikan di blog ini. Semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca. Jangan lupa tinggalkan komentar atau pertanyaan di kolom komentar agar kita dapat berdiskusi lebih lanjut. Terima kasih telah membaca, sampai jumpa di artikel selanjutnya.

 berberbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dariintegral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umumyang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan

integrasi yang disimbolkan dengan huruf C