Processing math: 100%
Langsung ke konten utama

Unggulan

Pengembangan Materi Ajar Mengikuti Perkembangan Masa

  Hello Reader's!!  Dalam era di mana perubahan terjadi dengan cepat, pengembangan materi ajar menjadi kunci utama dalam menawarkan pendidikan yang relevan dan adaptif bagi setiap generasi pelajar. Melangkah seiring dengan perkembangan masa adalah tantangan yang harus dihadapi oleh para pendidik agar mampu menghadirkan pengalaman belajar yang dinamis dan berdaya guna bagi siswa. Selamat membaca!!  ___ Pengembangan Materi Ajar Mengikuti Perkembangan Masa 1. Analisis Perubahan Kurikulum a. Evaluasi Perubahan Terkini pada Kurikulum - Pemahaman Revisi Kurikulum: Menelaah perubahan terbaru yang dilakukan pada kurikulum pendidikan. - Identifikasi Fokus Baru: Mengenali titik-titik fokus atau penekanan baru yang muncul dalam kurikulum yang berkaitan dengan perkembangan masa kini. b. Adaptasi terhadap Dinamika Sosial dan Teknologi - Memahami Perubahan Sosial: Mengidentifikasi tren sosial, budaya, dan teknologi yang mempengaruhi cara belajar siswa. - Pengintegrasian Teknologi: Mema...

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

 

Hai semuaa~

Apakah kalian masih ingat materi tentang integral dan trigonometri? Ternyata kedua materi tersebut bisa digabungkan menjadi topik yang akan kita bahas kali ini. Pada artikel sebelumnya mathimpact telah membahas mengenai Integral Tak Tentu, nah pada artikel kali ini mathimpact akan membahas mengenai integral tak tentu fungsi trigonometri. Nah sebelum lebih jauh, mari kita bersama-sama mengingat kembali definisi integral dan trigonometri. 

Integral disebut juga dengan anti-differential atau kebalikan dari turunan. Sedangkan integral tak tentu (Indefinite Integral) merupakan suatu fungsi baru yang turunannya merupakan fungsi aslinya dan tidak memiliki batas. 

Trigonometri merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas relasi antar sisi dan sudut segitiga, khususnya segitiga siku-siku. Nah, berdasarkan pengertian dari integral dan trigonometri tersebut, maka kita dapat mendefinisikan pengertian integral tak tentu fungsi trigonometri.

"Integral tak tentu fungsi trigonometri adalah bentuk integral yang integrannya berberbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapanintegrasi yang disimbolkan dengan huruf C".

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri.

Bentuk dasar tersebut adalah: 

1. sinxdx=cosx+C

2. cosxdx=sinx+C

3. tanxdx=ln|secx|+C=ln|cosx|+C

4. cotxdx=ln|cscx|+C=ln|sinx|+C

5. secxdx=ln|secx+tanx|+C

6. cscxdx=ln|cscxcotx|+C

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. sinmxdx dan cosmxdx dengan m bilangan ganjil atau genap positif.  

  •  Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi (m1)+1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas sin2x+cos2x=1.

Contoh:

sin3xdx

Jawab:

sin3xdx = sin(31)+1 x dx

= sin2xsinxdx

= (1cos2x)d(cosx)

= 1d(cosx)+cos2d(cosx)

= cosx+13cos3x+C


  •  Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan identitas:

sin2x=1-cos2x2 dan cos2x=1+cos2x2

 Contoh:

sin2xdx

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

sin2xdx = 1-cos2x2dx

= 12dx12cos2xdx

= x2sin2x4+C


B. sinmxcosnxdx

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sinx atau cosx dengan menggunakan kesamaan identintas sin2x+cos2x=1.

Contoh :

sin2xcos3xdx

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

sin2xcos3xdx =sin2xcos2xcosxdx

= sin2x(1sin2x)d(sinx)

= sin2xd(sinx)sin4xd(sinx)

=13sin3x15sin5x+C


C. tannxdx dan cotnxdx

  •  Untuk kasus tannxdx, faktorkan tanx kemudian gunakan identitas tan2x=sec2x1
  •  Untuk kasus cotnxdx, faktorkan cotx kemudian gunakan identitas cot2x=csc2x1

Perhatikan contoh berikut:

tan3xdx

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas1+tan2x=sec2x, sehingga diperoleh

tan3xdx = tan2xtanxdx

= (sec2x1)tanxdx

= sec2tanxdxtanxdx

= tanxsec2xdxln|secx|+C

= tanxd(tanx)ln|secx|+C

= 12tan2xln|secx|+C


D. tanmxsecnxdx dan cotmxcscnxdx

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1+tan2x=sec2x atau 1+cot2x=csc2x. Begitu juga dengan ganjil.

Contoh :

tan5xsec4xdx

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x=sec2x, sehingga diperoleh

tan5xsec4xdx = tan5x(sec2x)2dx

= tan5x(1+tan2x)sec2xdx

= (tan5x+tan7x)d(tanx)

= 16tan6x+18tan8x+C


E. sinmxcosnx dx, sinmxsinnx dx, cosmxcosnx dx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

  •  sinmxcosnx dx =12[sin(m+n)x+sin(mn)x]
  • sinmxsinnx dx =12[cos(m+n)xcos(mn)x]
  •  cosmxcosnx dx =12[cos(m+n)x+cos(mn)x]

Contoh:

sin3xcos4x dx = 12[sin(3+4)x+sin(34)x]dx

= 12sin7x+sin(x)dx

= 114cos7x12cosx+C


Itulah tadi informasi yang dapat mathimpact bagikan di blog ini. Semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca. Jangan lupa tinggalkan komentar atau pertanyaan di kolom komentar agar kita dapat berdiskusi lebih lanjut. Terima kasih telah membaca, sampai jumpa di artikel selanjutnya.

 berberbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dariintegral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umumyang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan

integrasi yang disimbolkan dengan huruf C

Komentar

Postingan Populer