Aplikasi Integral: Volume Benda Putar (Bagian 2)

 

Haiii Reader's! 

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Pada artikel sebelumnya, telah dibahas dasar-dasar perhitungan volume benda putar (bagian 1) dan memberikan pemahaman awal yang kuat tentang konsep ini. Sekarang, saatnya kita melangkah lebih jauh dan menjelajahi metode-metode yang dapat digunakan untuk mengukur volume benda putar. Dalam artikel kali ini, kami akan mengupas berbagai metode yang terbukti efektif dalam menghitung volume benda putar. Mulai dari metode cakram, metode cincin hingga metode kulit silinder, kita akan melihat kelebihan, kelemahan, dan situasi di mana masing-masing metode cocok digunakan. Dengan memperdalam pemahaman tentang metode-metode ini, kita akan dapat memilih pendekatan yang paling sesuai dalam mengukur volume benda putar untuk berbagai bentuk dan skenario.

Jadi, mari bergabung dalam petualangan matematika ini dan eksplorasi lebih dalam tentang metode pengukuran volume benda putar yang menarik ini. Siapkan diri kalian semua untuk memperluas wawasan dan keterampilan dalam dunia yang menarik ini. Selamat membaca dan mari kita mulai memperdalam pengetahuan kita tentang volume benda putar dalam artikel yang penuh informasi ini!

____________________

VOLUME BENDA PUTAR (BAGIAN 2) 

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu (lihat pembahasan pada artikel sebelumnya), dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

1. Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x)`, `y=0`, `x=1` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x` . Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang `[a, b]`. 

Misal pusat cakram `(x_0, 0)` dan jari-jari `r = f(x_0) `. Maka luas cakram dinyatakan :

`A(x_0) = \pi (f(x_0))^2 = \pi f^2 (x_0) `

Oleh karena itu, volume benda putar:

`V = \int_a^b  \pi (f(x))^2  dx = \pi \int_a^b  (f(x))^2  dx`

Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu-`y` ? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y)`, `x=0`, `y=c`, `y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y`, maka volume benda putar :

`V = \int_a^b  \pi (g(y))^2  dx = \pi  \int_a^b  (g(y))^2  dx`

Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh `y= f(x) ≥ 0`, `y=g(x) ≥ 0`, `f(x) ≥ g(x)` untuk setiap `x \in [a, b]`, `x = a`, `x = b` diputar terhadap sumbu-`x`, maka volume:

`V = \int_a^b  \pi ( (f(x))^2 - (g(x))^2 )  dx`

Bila daerah yang dibatasi oleh `x = f(y) ≥ 0`, `x = g(y) ≥ 0`, `f(y) ≥ g(y)` untuk setiap `y \in [c, d]`, `x=c`, `x=d` diputar terhadap sumbu-`y`, maka volume:

`V = \int_c^d  \pi ( (f(y))^2 - (g(y))^2 )  dy`

Contoh:

Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva:

`y = 2 - x^2`, `y = - x` dan sumbu-`y` bila diputar mengelilingi garis `y = -2` 

Penyelesaian:

Kedua kurva berpotongan di `(-1, 1)` dan `(-2, 2)`. Pada selang `[-1, 2]` berlaku `2-x^2 ≥ -x`.

Jarak kurva `y = 2-x^2`, `y = -x` terhadap sumbu putar (garis `y = -2`) dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, sehingga diperoleh `(2-x^2) - (-2) = 4 - x^2` dan `-x - (-2) = 2-x`. Maka berturut-turut adalah `(4-x^2)` dan `(2-x)`.

`\Delta V \approx \pi [(4-x^2)^2 - (2 - x)^2]  \Delta x = \pi (x^4 - 9x^2 + 4x + 12) \Delta x`

`-1 ≤ x ≤ 2`

Sehingga diperoleh, 

`V = \int_(-1)^2  \pi (x^4 - 9x^2 + 4x + 12)  dx`

`\iff \pi  \int_(-1)^2  (x^4 - 9x^2 + 4x + 12)  dx`

`\iff \pi [\frac (x^5) (5) - 3x^3 + 2x^2 + 12x]_(-1)^2 = \frac (108) (5) \pi`

`\iff \frac (108) (5) \pi \approx 67,86  satuan  volume`

2. Metode Cincin

Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut:

Jika `r` dan `R` secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan `t` merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

`V = \pi (R^2 - r^2) t`

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar `R(x)` dan jari-jari dalam `r(x)` seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah, 

`V = \pi  \int_a^b  [(R(x))^2 - (r(x))^2]   dx`

Contoh:

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari `y=x^2`, sumbu-`x` dan garis `x=2` diputar terhadap garis `y=-1`.

Penyelesaian:

Jika irisan diputar terhadap garis `y = -1` akan diperoleh suatu cincin dengan jari-jari dalam `1` dan jari-jari luar `1 + x^2`.

`\Delta V \approx \pi [(1 + x^2)^2 - 1^2] \Delta x = \pi (x^4 + 2x^2) \Delta x`

`0 ≤ x ≤ 2`

Sehingga diperoleh, 

`V = \int_0^2  \pi  (x^4 + 2x^2)  dx`

`\iff  \pi  \int_0^2  (x^4 + 2x^2)  dx`

`\iff  \pi  [\frac (x^5) (5) + \frac (2) (3) x^3]_0^2 = \frac (186) (15) \pi`

`\iff  V = \frac (176) (15) \pi \approx 36,86  satuan  volume`

3. Metode Kulit Silinder

Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut `r_1` dan `r_2` , tinggi tabung `h`. Maka volume kulit tabung adalah :

`\Delta V = (\pi r_2 + \pi r_1) h = 2 \pi r \Delta r`

dengan : `\frac (r_2 + r_1) (2) = r (rata - rata, jari - jari)`; `r_2 + r_1 = \Delta r`.

Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)`, `y=0`, `x=a`, `x=b` diputar mengelilingi sumbu-`y`, maka kita dapat memandang bahwa jari-jari `r=x` dan `\Delta r = \Delta x` dan tinggi tabung `h = f(x)`. Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah, 

`V = \int_a^b  2 \pi x  f(x)  dx`

Misal daerah dibatasi oleh kurva `y = f(x) `, `y=g(x)`, `f(x) ≥ g(x)`, `x \in [a, b]`, `x=a` dan `x=b` diputar mengelilingi sumbu-`y`. Maka, volume benda putar yang dapat dinyatakan dengan, 

`V = \int_a^b  2 \pi x (f(x) - g(x))  dx`

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan `x = f(y)`, `x = 0`, `y = c`, `y = d` diputar mengelilingi sumbu-`x`. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan:

`V = \int_c^d  2 \pi y  f(y)  dy`

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh `x = f(y)`, `x = g(y) `, `f(y) ≥ g(y)`, ` y \in [c, d]`, ` y = c` dan `y = d` diputar mengelilingi sumbu-`x`. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan, 

`V = \int_c^d  2 \pi y  (f(y) - g(y))  dy`

Contoh:

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah `R` yang dibatasi oleh`y = \sqrt (x)`, `x=4`, `y=0`; mengelilingi sumbu `x=4`

Penyelesaian:

Jika irisan diputar terhadap garis `x = 4` akan diperoleh suatu tabung kosong dengan jari-jari `4 - x` dan tinggi tabung `\sqrt (x) `

Sehingga diperoleh, 

`\Delta V \approx 2 \pi  (4 - x)  \sqrt (x)  \Delta x`

`0 ≤ x ≤ 4`

Maka diperoleh, 

`V = \int_0^4  2\pi  ((4-x) \sqrt (x))  dx`

`\iff 2\pi  \int_0^4  (4\sqrt (x) - x^(\frac (3) (2)))   dx`

`\iff  2\pi  [\frac (8) (3) x^(\frac (3) (2)) - \frac (2) (5) x^(\frac (5) (2)) ]_0^4 = \frac (17) (15) \pi`

`iff V = \frac (17) (15) \pi \approx  3,56  satuan  volume`

Terima kasih telah membaca artikel ini dan bergabung di blog MathImpact. Semoga artikel ini memberikan wawasan baru tentang metode yang digunakan untuk mengukur volume benda putar. Dengan memahami konsep ini, para pembaca sekalian dapat mengaplikasikannya dalam berbagai konteks dan situasi. Teruslah menjelajahi dunia matematika dan selalu bersemangat dalam belajar. Sampai jumpa di artikel berikutnya!

Volume Benda Putar (Bagian 1): https://mathimpact.blogspot.com/2023/05/aplikasi-integral-volume-benda-putar.html