INTEGRAL: NOTASI SIGMA

 

Halo Semuanya~~

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Pada kesempatan kali ini, mathimpact akan membahas salah satu simbol yang sangat berguna dalam matematika, yaitu notasi sigma `(∑)`. Notasi sigma digunakan untuk menggambarkan operasi penjumlahan dengan cara yang lebih sederhana dan ringkas. Jadi, mari kita jelajahi lebih dalam mengenai notasi sigma dan bagaimana penggunaannya dalam menyederhanakan penjumlahan.

________________

PENULISAN SIGMA

Perhatikan jumlah berikut:

               `1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 100^2`

dan

               `a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n`

Untuk merangkum jumlah tersebut secara ringkas, kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

                            `\sum_{i=1}^{100} i^2` dan `\sum_{i=1}^{n} a_i`

Disini, melalui notasi sigma `(∑)`, kita diberitahu untuk melakukan penjumlahan dari bilangan pertama yang ditunjukkan di bawah simbol tersebut hingga bilangan terakhir di atasnya. Dengan kata lain, notasi sigma memerintahkan kita untuk menjumlahkan seluruh deret bilangan yang telah ditentukan. Sehingga, 

`\sum_{i=2}^{5} a_i b_i  = a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4 + a_5 b_5`

`\sum_{j=1}^{n} \frac (1) (j) = \frac (1) (1)+ \frac (1)(2) + \frac (1) (3) + ... + \frac (1) (n)`

`\sum_{k=1}^{4} \frac (k) (k^2+1) = \frac (1) (1^2 + 1)+ \frac (2)(2^2 + 1) + \frac (3) (3^2 + 1) + \frac (4) (4^2 + 1)`

dan, untuk `n ≥ m`, 

          `\sum_{i=m}^{n} F(i) = F(m) + F(m+1)+ F(m+2) + ... + F(n)`

Jika semua `c` dalam `\sum_{i=1}^{n} c_i` mempunyai nilai sama, katakan `c`, maka

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian, 

                       `\sum_{i=1}^{n} c_i = nc`

Khususnya, 

`\sum_{i=1}^{5} 2 = 5(2) = 10`

`\sum_{i=1}^{100} (-4)= 100(-4) = -400`

`\sum_{j=0}^{2} x^3 = x^3 + x^3 + x^3`

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas - batas jumlah. 

Contoh:

`\sum_{k=1}^{5} 2k = 2+4+6+8+10`

`\sum_{k=0}^{4} (2k+2) = 2+4+6+8+10`

`\sum_{k=2}^{6} (2k-2) = 2+4+6+8+10`

SIFAT - SIFAT `∑`

Dianggap sebagai operator, `\sum` beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear. 

TEOREMA: KELINEARAN `\sum`

Misalkan `(a_i)` dan `(b_i)` menyatakan dua barisan dan `c` suatu konstanta. Maka:

(i) `\sum_{i=1}^{n} ca_i = c \sum_{i=1}^{n} a_i`;

(ii) `\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=2}^{n} b_i`;

(iii) `\sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=2}^{n} b_i`.

Contoh:

Misalkan `\sum_{i=1}^{100} a_i = 60` dan `\sum_{i=1}^{100} b_i = 11`. Hitung `\sum_{i=1}^{100} (2a_i - 3b_i + 4)`

Penyelesaian:

`\sum_{i=1}^{100} (2a_i - 3b_i + 4)` = `\sum_{i=1}^{100} 2a_i - \sum_{i=1}^{100} 3b_i + \sum_{i=1}^{100} 4`

= `2 \sum_{i=1}^{100} a_i - 3 \sum_{i=1}^{100} b_i + \sum_{i=1}^{100} 4`

=`2 (60) - 3 (11) + 100 (4)` = `487`

BEBERAPA JUMLAH KHUSUS

Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari `n`  bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-`n` yang cukup manis. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:

(a) `\sum_{k=1}^{n} k`=`1+2+3+...+n` = `\frac (n(n+1)) (2)`

(b) `\sum_{k=1}^{n} k^2`= `1^2+2^2+3^2+...+n^2`= `\frac (n(n+1)(2n+1)) (6)`

(c)  `\sum_{k=1}^{n} k^3` = `1^3+2^3+3^3+...+n^3` = `[\frac (n(n+1)) (2) ]`

(d)  `\sum_{k=1}^{n} k^4`= `1^4+2^4+3^4+...+n^4`=`\frac (n(n+1)(6n^3 + 9n^2 + n - 1)) (30)`

Contoh:

Carilah suatu rumus untuk `\sum_{j=1}^{n} (j+2) (j-5)`

Penyelesaian: 

`\sum_{j=1}^{n} (j+2) (j-5)` = `\sum_{j=1}^{n} (j^2-3j-10)` = `\sum_{j=1}^{n} j^2 - 3 \sum_{j=1}^{n} j - \sum_{j=1}^{n} 10`

= `\frac (n(n+1) (2n+1)) (6) - 3 \frac (n(n+1)) (2) -10n`

= `\frac (n) (9) [2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 - 60]`

= `\frac (n(n^2-3n-34)) (3)`

Di akhir blog ini, semoga informasi yang telah mathimpact bagikan dapat memberikan pemahaman baru dan berguna bagi pembaca. Teruslah menggali pengetahuan dan jangan ragu untuk menjelajahi topik yang menarik bagi kalian. Ingatlah, pembelajaran adalah perjalanan tanpa akhir. Terima kasih telah membaca blog ini, semoga sukses dan bahagia selalu!