Integral Fungsi Rasional - Linear

 

Haii Reader's! 

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Pada artikel kali ini, mathimpact akan membahas topik yang menarik tentang integral fungsi rasional-linear. Integral adalah salah satu konsep penting dalam kalkulus yang memungkinkan kita untuk menghitung luas di bawah kurva fungsi. Namun, ketika fungsi yang ingin kita integralkan memiliki bentuk rasional-linear, yaitu gabungan antara pecahan polinomial dan fungsi linear, tantangan baru muncul. Dalam artikel ini, kami akan membahas langkah-langkah dan strategi yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan integral fungsi rasional-linear dengan efektif. Mari kita mulai eksplorasi ini bersama dan temukan bagaimana integral fungsi rasional-linear dapat membantu kita dalam berbagai aplikasi matematika yang menarik!

__________

Integral Fungsi Rasional Faktor Linear

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x) = \frac (f(x)) (g(x)') ` dimana `f(x), g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x) \ne 0`. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_n x^n, n=1, 2, 3, ...,` sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac (f(x)) (g(x)) ` yang pembilang dan penyebut nya polinom. 

Contoh:

1. `F(x) = \frac (1-x) (x^2-3x+2)` (Fungsi Rasional Sejati) 

2. `F(x) = \frac (x^2 - 4) (x^2 - 4x + 4)` (Fungsi Rasional Tidak Sejati) 

3. `F(x) = \frac (x^5 - 2x^3 - x + 1) (x^3 + 5x)` (Fungsi Rasional Tidak Sejati) 

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

`F(x) = \frac (x^5 - 2x^3 - x + 1) (x^3 + 5x) `

         `= x^2 - 3 + \frac (14x + 1) (x^3 + 5 x)`

`F(x) = \frac (f(x)) (g(x)), g(x) \ne 0.`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktor penyebut `g(x) ` dari fungsi rasional `F(x) = \frac (f(x)) (g(x))` sampai tidak dapat difaktorkan lagi. 

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x) ` dapat berupa kombinasi antara: 

•  fungsi linear berbeda, `g(x) = (x-a) (x-b) ...   . ( x - t)`dan seterusnya. 
•  fungsi linear berulang, `g(x) = (x-a)^n = (x-a) (x-a) (x-a) ...  (x-a)`
• fungsi linear dan kuadrat, `g(x) = (x-a) (ax^2+bx+c) `
•  fungsi kuadrat berbeda, `g(x) = (ax^2 + bx + c) (px^2 + ax + c) `
• fungsi kuadrat berulang, `g(x) = (ax^2 + bx + c) ^n` dan seterusnya. 

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan `n`-pecahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal: 

`\frac (f(x)) (g(x)) = \frac (A_1) ((ax_1+b_1)) + \frac (A_2) ((ax_2 + b_2)) + ... `(Penyebut kombinasi linear berbeda) 

`\frac (f(x)) (g(x)) = \frac (A_1) ((ax+b)) + \frac (A_2) ((ax+ b)^2) + \frac (A_3) ((ax+b)^3) + ... `(Kombinasi linear berulang) 

`\frac (f(x)) (g(x)) = \frac (A_1 x + B_1) ((a_1 x^2+b_1 x + c_1)) + \frac (A_2 x + B_2) ((a_2 x^2+ b_2 x + c_2)) + ... `(Kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah `n` -pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_1, A_2, … A_n` dan `B_1, B_2, … B_n`.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai integral fungsi rasional-linear. Semoga artikel ini memberikan pemahaman yang lebih dalam dan memperkaya pengetahuan matematika Anda. Teruslah eksplorasi dunia kalkulus, dan temukan keajaiban di balik konsep-konsep matematika yang menarik. Sampai jumpa di artikel MathImpact berikutnya!