Integral Fungsi Rasional - Kuadrat

 

Hello Reader's

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Pada artikel kali ini, kita akan menggali lebih dalam tentang integral fungsi rasional - kuadrat. Integral fungsi rasional - kuadrat merupakan salah satu topik yang menarik dalam kalkulus, yang melibatkan penyelesaian integral dari fungsi yang memiliki polinomial rasional dalam pembilang dan kuadrat dalam penyebutnya. Pemahaman yang mendalam tentang integral jenis ini sangat penting dalam berbagai bidang ilmu, termasuk fisika, matematika, dan rekayasa. Mari kita jelajahi dan pahami konsep ini secara mendalam agar kita dapat menerapkannya dengan percaya diri dalam perhitungan integral yang lebih kompleks.

_____________

Integral Fungsi Rasional Kuadrat

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan `n` parsial `\frac ( f(x)) (g(x)) = \frac (A) (ax+b) +\frac (Bx + C) (px^2+qx+r) ` berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A, B, dan C. 

Contoh:

`\int  \frac (6x^2 - 3x + 1) ((4x+1) (x^2+1))  dx`

Karena integran fungsi rasional sejati maka, 

`\int \frac (6x^2 - 3x + 1) ((4x+1) (x^2+1)) dx` =` \int  \frac (A) ((4x+1))` + `\frac (Bx + C) ((x^2+1)) dx`

`\iff  \int  \frac (A(x^2+1) + (Bx+C) (4x+1)) ((4x+1) (x^2+1))  dx`

`\iff  \int  \frac ((A+4B) x^2 + (B+4C) x + (A+C)) ((4x+1) (x^2+1))  dx`

Diperoleh, 

`A+4B=6,  (B+4C) = -3,  (A+C) = 1`  atau  `A= 2,  B=1`,  dan `C=-1` sehingga:

`\int \frac (6x^2 - 3x + 1) ((4x+1) (x^2+1)) dx` =` \int \frac (2) ((4x+1))` + `\frac (x-1) ((x^2+1)) dx`

`\iff  \int  \frac (2) ((4x+1))  dx + \int  \frac (x) ((x^2-1))  dx - \int  \frac (1) ((x^2-1))  dx`

`\iff  \frac (2)(4)  ln |4x + 1| + \frac (1) (2) ln |x^2+1| - arctan  x + C`

Jadi,  `\int \frac (6x^2 - 3x + 1) ((4x+1) (x^2+1)) dx` = `\frac (2)(4) ln |4x + 1| + \frac (1) (2) ln |x^2+1| - arctan x + C`

Integral Fungsi Rasional yang Memuat `Sin x` dan `Cos x`

Fungsi `F(x) = \frac (f(x)) (g(x)), g(x) \ne 0, f(x)` dan `g(x) ` memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan `f(x) = sin x` dan `f(x) = cos x` tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Subtitusi. 

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya

memuat `f(x) = sin x` atau `f(x) = cos x`.

1. `F(x) = \frac (1-sin x) (cos x) `

2. `F(x) = \frac (1+sin x + cos x) (sin x)` 

3. `F(x) = \frac (5 sin x + 2) (cos x)`

4. `F (x) = \frac (1) (1+sin x-cos x)` 

5. `F (x) = \frac (2) (1+sin x - cos x) `

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1. `\int  \frac (dx) (1+sin x-cos x)` 

2. `\int  \frac (dx) (2+cos x) `

3. `\int  \frac (dx) (1+sin x + cos x) `

4. `\int  \frac (1+2 sin x + cos x) (sin x)  dx`

5. `\int  \frac (1) (3-2 sin x)  dx`

Selesaikan integral bentuk - bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi `x=2 arctan z` sehingga `dx = \frac (2) (1+z^2)  dz`.

Selanjutnya `sin x` dan `cos x` di subtitusi ke bentuk variabel `z`.

Karena `x=2 arctan z` maka:

`\iff  tan ( \frac (x) (2)) = z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

` 1 + tan^2 (\frac (x) (2)) = sec^2 (\frac (x) (2) `

`\iff 1+z^2 = sec^2 (\frac (x) (2)) `

`\iff cos^2 (\frac (x) (2)) = \frac (1) (1+z^2) `

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain 

`sin^2 x + cos^2 x =1`

`\iff  sin^2 (\frac (x) (2)) + cos^2 (\frac (x) (2)) =1`,  sehingga dapat

`\iff sin^2 (\frac (x) (2)) = 1-\frac (1) (1+z^2) `

`\iff sin^2 (\frac (x) (2)) = \frac (z^2) (1+z^2) `

Dengan rumus jumlah cosinus didapat: 

`cos 2x = cos^2 x - sin^2 x`

`\iff cos x = cos^2 (\frac (x) (2)) - sin^2 (\frac (x) (2)) `

`\iff cos x = \frac (1) (1+z^2) - \frac (z^2) (1+z^2) `

`\iff cos x = \frac (1-z^2) (1+z^2) `0

Dengan rumus jumlah sinus didapat: 

`sin 2x = 2 sin x cos x`

`\iff sin x = 2 sin (\frac (x) (2))  cos (\frac (x) (2)) `

`\iff sin x = 2 \sqrt (\frac (z^2) (1+z^2)) \sqrt (\frac (1) (1+z^2)) `

`\iff sin x = \frac (2z) (1+z^2) `

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

`x = 2  arctan  z,  sin x = \frac (2z) (1+z^2),  cos x = \frac (1-z^2) (1+z^2) `

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. 

Tentukan penyelesaian dari `\int  \frac (dx)(1 + sin x + cos x) ` 

Jawab:

`\int \frac (dx)(1 + sin x + cos x) = \int \frac (\frac (2) (1+z^2) dz) ( 1+ (\frac (2z) (1+z^2)) + (\frac (1-z^2) (1+z^2) `

`\iff  \int \frac (\frac (2dz) (1+z^2)) ( (\frac (1+z^2)(1+z^2) + (\frac (2z) (1+z^2)) + (\frac (1-z^2) (1+z^2) `

`\iff  \int  \frac (2dz) (2+2z) `

`\iff  \int  \frac (dz) (1+z) `

`\iff  ln  | 1+z| + C`

`\iff  ln  | 1 + tan  \frac (x) (2) | + C`

Jadi, `\int \frac (dx)(1 + sin x + cos x) = ln | 1 + tan \frac (x) (2) | + C`

Demikianlah pembahasan kita kali ini. Semoga pembahasan integral fungsi rasional - kuadrat di blog MathImpact ini telah memberikan para pembaca wawasan baru dan pemahaman yang lebih dalam. Dengan konsep ini, Anda dapat menghadapi tantangan integral yang lebih kompleks dengan percaya diri. Teruslah kembangkan kemampuan matematika kalian dan jadilah inspirasi bagi orang lain dalam menghadapi keajaiban angka dan rumus - rumusnya. Sampai jumpa di artikel selanjutnya dan tetaplah bersemangat dalam eksplorasi matematika!