Aplikasi Integral: Volume Benda Putar (bagian 1)

Hello Reader's! 

Selamat datang kembali di blog MathImpact! Kali ini, mathimpact hadir dengan artikel yang sangat menarik tentang aplikasi integral dalam menghitung volume benda putar (bagian 1). Dalam dunia matematika, tak bisa dipungkiri bahwa integral memainkan peran sentral dalam memecahkan berbagai masalah kompleks. Salah satu aplikasi yang sangat menarik adalah perhitungan volume benda putar. Konsep ini memiliki relevansi yang luas dalam berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, dan desain. Dengan menggunakan teknik integral, kita dapat dengan mudah menemukan volume dari benda-benda yang memiliki bentuk melengkung atau berputar, dan mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam tentang karakteristik geometris dari benda tersebut. Jadi, ayo mulai menjelajahi dunia integral dan bersama-sama kita akan mengungkap rahasia di balik perhitungan volume benda putar yang sangat menarik ini!

_____________________

VOLUME BENDA PUTAR (BAGIAN 1) 

Apa yang disebut volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar 1. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh `h` dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas `A` dikalikan tinggi `h` , yakni:

`V = A . h`

Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-`x` dan misalkan bahwa luas penampang `x` pada `A(x)` adalah dengan `a≤x≤b` (Gambar 2). Kita partisikan interval `[a, b]` dengan menyisipkan titik-titik `a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_i = b`. Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-`x`, sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis (Gambar 3). Volume `\Delta V` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni:

`\Delta V_i = A (\bar{x}_i) \Delta x_i`

(Ingat bahwa `\bar{x}_i` disebut titik sampel, adalah sebarang bilangan dalam interval `[x_(i-1), x_i]`). Volume `V` dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann:

`V \approx \sum_{i=1}^n A (\bar{x}_i) \Delta x_i`

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal, 

`V = \int_a^b  A(x)  dx`

a. Pemutaran Mengelilingi Sumbu-`X`

Misal `R` adalah luasan yang dibatasi oleh `y=f(x)`, `x=a`, `x=b`. Selanjutnya `R` diputar mengelilingi sumbu-`x`. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu-`x` membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadi lempengan-lempengan. Volume `\Delta V` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni:

`\Delta V_i = A (\bar{x}_i) \Delta x_i`

Volume `V ` dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann:

`V \approx \sum_{i=1}^n A (\bar{x}_i) \Delta x_i`

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal, 

`V = \int_a^b A(x) dx`

`V = \int_a^b  \pi (y^2)  dx = \pi \int_a^b  y^2  dx`

Jika `R` dibatasi oleh dua kurva, yaitu `y_1 = f(x) `, `y_2 = g(x)`, `x=a`, `x=b`. Dengan `y_1 ≥ y_2`. Selanjutnya `R` diputar mengelilingi sumbu-`x`, maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V = \pi \int_a^b (y_1^2 - y_2^2) dx`

b. Pemutaran Mengelilingi Sumbu-`Y`

Misal `R` adalah luasan yang dibatasi oleh `x = f (y)`, `y = c`, `y = d`. Selanjutnya `R` diputar mengelilingi sumbu-`y`. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

`V = \pi \int_c^d  x^2  dy`

Jika `R` dibatasi oleh dua kurva, yaitu `x_1 = f(y)`, `x_2 = g(y)`, `y=c`, `y=d`. Dengan `x_1 ≥ x_2`. Selanjutnya `R` diputar mengelilingi sumbu-`y`, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

`V = \pi \int_c^d (x_1^2 - x_2^2) dy`

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasil kali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan `A(x)` dan tinggi benda putar adalah panjang selang `[a, b]`, maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:

`V = \int_a^b  A(x)  dx`

Sekian pembahasan kali ini. Terima kasih telah mengikuti pembahasan mathimpact tentang volume benda putar (bagian 1) yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu. Artikel selanjutnya akan memberikan informasi lebih lanjut tentang metode-metode yang digunakan untuk mengukur volume benda putar dalam konteks ini. Dengan mempelajari metode-metode ini, Anda akan memiliki alat yang kuat untuk menghitung volume benda putar dengan lebih akurat dan efisien. Jangan lewatkan kesempatan untuk mendalami pengetahuan pembaca sekalian tentang topik ini dengan membaca artikel yang direkomendasikan di bawah ini. Semoga para pembaca menikmati perjalanan ini dalam memahami dan menerapkan konsep volume benda putar. Tetaplah terinspirasi dan selamat mengeksplorasi dunia matematika yang menarik!

Volume Benda Putar (Bagian 2): https://mathimpact.blogspot.com/2023/05/aplikasi-integral-volume-benda-putar_26.html