Halo semuanyaa~
Pada artikel sebelumnya mathimpact telah membahas konsep dasar mengenai integral tak tentu, nah pada artikel kali ini mathimpact akan fokus membahas mengenai salah satu teknik/metode untuk menyelesaikan masalah integral tak tentu. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah integral tak tentu adalah metode substitusi.
Integral dengan teknik/metode substitusi digunakan ketika proses pengintegralan tidak bisa diselesaikan dengan rumus-rumus dasar integral, atau seandainya bisa diselesaikan namun akan memerlukan proses yang cukup panjang. Nah untuk pembahasan lebih lengkap simak penjelasan berikut.
___
Teknik subtitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubtitusikan atau mengganti fungsi f(x) dengan simbol u. Untuk menentukan ∫f(x)dx kita dapat mensubtitusikan u=g(x) dan du=g′(x) dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan.
Metode ini dinyatakan dalam aturan berikut:
Aturan Subtitusi - Jika u=g(x) adalah fungsi yang terdiferensialkan dengan daerah hasilnya adalah interval I, dan f kontinu pada I, maka \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du
Bukti, Dengan Aturan Rantai, F(g(x)) adalah anti turunan dari f(g(x)) . g'(x) apabila F adalah anti turunan dari f.
\frac {d}{dx} F(g(x)) = F'(g(x)) . g'(x) Aturan Rantai
=f(g(x)) . g'(x) F'=f
Jika kita membuat subtitusi u=g(x), maka
\int f(g(x)) g'(x) dx = \int \frac {d}{dx} F(g(x)) dx
= F(g(x)) + C Teorema
= F(u) + C u=g(x)
= \int F'(u) du Teorema
= \int f(u) du F'=f
*Teorema: Jika F adalah anti turunan dari f pada interval I, maka anti turunan yang paling umum untuk f di I adalahF(x) + C, dengan C adalah sebarang konstanta.
Aturan ini menyediakan metode untuk menghitung integral berbentuk \int f(g(x)) g'(x) dx apabila persyaratan - persyaratan pada aturan diatas dipenuhi. Metode Subtitusi untuk menghitung \int f(g(x)) g'(x) dx.
- Subtitusikan u=g(x) dan du=(\frac {du}{dx}) dx = g'(x) dx untuk memperoleh \int f(u) du.
- Integrasikan terhadap u.
- Gantikan u dengan g(x).
Contoh Soal:
Soal-1
Tentukan hasil dari \int \sqrt (3x) dx.
Pembahasan:
Disubtitusikan u=3x, sehingga diperoleh du=3 dx \Leftrightarrow dx=\frac {du}{3}. Akibatnya,
\int \sqrt (3x) dx=\int \sqrt {u} \frac{du}{3}
=\frac {1}{3} \int u^(\frac{1}{2}) du
=\frac {1}{3} . \frac {u^(\frac{3}{2})}{\frac {3}{2}} +C
=\frac {2}{9} u^(\frac {3}{2})+C
=\frac {2}{9} (3x)^(\frac {3}{2})+C
Soal-2
Tentukan \int(5x-1)^8 dx.
Pembahasan:
Disubstitusikan t=5x-1, sehingga diperoleh dt=5 dx\Leftrightarrow dx=\frac{dt}{5}. Akibatnya,
\int(5x-1)^8 dx=\int t^8 \frac{dt}{5}
=\frac{1}{45}t^9+C
=\frac{1}{45}(5x-1) ^9+C
Soal-3
Tentukan \int 3^ (1-2u) du.
Pembahasan:
Disubstitusikan t=1-2u, sehingga diperoleh dt=-2 du\Leftrightarrow du=-\frac{dt}{2}. Akibatnya,
\int 3^ ((1-2u)) du=\int -3^t \frac {dt}{2}
=-\frac {1}{2}\frac {3^t}{ln 3} + C
=-\frac {1}{2} \frac {3^((1-2u))}{ln 3} + C
.png)
.png)
Komentar
Posting Komentar