Integral Tak Tentu: Metode Subtitusi

Halo semuanyaa~

Pada artikel sebelumnya mathimpact telah membahas konsep dasar mengenai integral tak tentu, nah pada artikel kali ini mathimpact akan fokus membahas mengenai salah satu teknik/metode untuk menyelesaikan masalah integral tak tentu. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah integral tak tentu adalah metode substitusi.

Integral dengan teknik/metode substitusi digunakan ketika proses pengintegralan tidak bisa diselesaikan dengan rumus-rumus dasar integral, atau seandainya bisa diselesaikan namun akan memerlukan proses yang cukup panjang. Nah untuk pembahasan lebih lengkap simak penjelasan berikut. 

___

Teknik subtitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubtitusikan atau mengganti fungsi `f(x)` dengan simbol `u`. Untuk menentukan `\int f(x) dx` kita dapat mensubtitusikan `u=g(x)` dan `du=g'(x)  dx` dengan `g` fungsi yang dapat diintegralkan. Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan.

Metode ini dinyatakan dalam aturan berikut:

Aturan Subtitusi - Jika `u=g(x)` adalah fungsi yang terdiferensialkan dengan daerah hasilnya adalah interval I, dan `f` kontinu pada I, maka

                `\int f(g(x)) g'(x)  dx = \int f(u)  du`

Bukti, Dengan Aturan Rantai, `F(g(x))` adalah anti turunan dari `f(g(x))  . g'(x)` apabila `F` adalah anti turunan dari `f`.

`\frac {d}{dx} F(g(x)) = F'(g(x))  . g'(x)`     Aturan Rantai

                     `=f(g(x))  . g'(x)`          `F'=f`

Jika kita membuat subtitusi `u=g(x)`, maka 

`\int f(g(x)) g'(x)  dx = \int \frac {d}{dx} F(g(x))  dx`

                               `= F(g(x)) + C`       Teorema

                               `= F(u) + C`            `u=g(x)`

                               ` = \int F'(u)  du`          Teorema

                               `= \int f(u)  du `             `F'=f`

*Teorema:  Jika `F` adalah anti turunan dari `f` pada interval `I`, maka anti turunan yang paling umum untuk `f` di `I` adalah`F(x) + C`, dengan `C` adalah sebarang konstanta. 

Aturan ini menyediakan metode untuk menghitung integral berbentuk \int f(g(x)) g'(x) dx apabila persyaratan - persyaratan pada aturan diatas dipenuhi. Metode Subtitusi untuk menghitung  `\int f(g(x)) g'(x) dx`.

1. Subtitusikan `u=g(x)` dan `du=(\frac {du}{dx})  dx = g'(x)   dx` untuk memperoleh `\int f(u)  du.` 
2. Integrasikan terhadap `u`. 
3. Gantikan `u` dengan `g(x)`.

              

Contoh Soal:

Soal-1

Tentukan hasil dari `\int \sqrt (3x)  dx`.

Pembahasan:

Disubtitusikan `u=3x`, sehingga diperoleh `du=3  dx \Leftrightarrow dx=\frac {du}{3}`. Akibatnya, 

`\int \sqrt (3x)  dx``=\int \sqrt {u}  \frac{du}{3}`

                 `=\frac {1}{3} \int u^(\frac{1}{2})  du`

                 `=\frac {1}{3}  . \frac {u^(\frac{3}{2})}{\frac {3}{2}} +C`

                 `=\frac {2}{9} u^(\frac {3}{2})+C`

                 `=\frac {2}{9} (3x)^(\frac {3}{2})+C`

Soal-2

Tentukan `\int(5x-1)^8  dx`.

Pembahasan:

Disubstitusikan `t=5x-1`, sehingga diperoleh `dt=5  dx\Leftrightarrow` `dx=\frac{dt}{5}`. Akibatnya, 

`\int(5x-1)^8  dx=\int t^8  \frac{dt}{5}`

                          `=\frac{1}{45}t^9+C`

                          `=\frac{1}{45}(5x-1) ^9+C`

Soal-3

Tentukan `\int 3^ (1-2u)  du`.

Pembahasan:

Disubstitusikan `t=1-2u`, sehingga diperoleh `dt=-2  du\Leftrightarrow` `du=-\frac{dt}{2}`. Akibatnya, 

`\int 3^ ((1-2u))  du=\int -3^t  \frac {dt}{2}`

                       `=-\frac {1}{2}\frac {3^t}{ln 3} + C`

                       `=-\frac {1}{2} \frac {3^((1-2u))}{ln 3} + C`