Integral Tak Tentu: Pengertian, Rumus & Contoh Soal

Halo semuanyaa~

Pada kesempatan kali ini mathimpact akan membahas mengenai integral tak tentu. Apa sih integral tak tentu itu? Apa saja rumusnya? Serta bagaimana sih contohnya?. 

Nah sebelum lebih jauh membahas hal-hal tersebut, kita kenalan dulu nih sama pengertian integral. Istilah integral ini pastinya sudah tidak asing lagi di telinga para pelajar apalagi mahasiswa yang sedang menempuh pedidikan di jurusan matematika. Pembahasan atau materi dasar tentang integral juga telah diperkenalkan saat menduduki bangku SMA. Kemudian pembahasan lebih lanjut tentang integral akan diperoleh pada jenjang perguruan tinggi, terutama pada program studi yang berbasis saintek dan teknologi. 

Pengertian Integral

Sebelumnya konsep turunan telah di ajarkan pada bangku SMA kelas XI. Pemahaman konsep turunan ini nantinya digunakan untuk memahami konsep integral. Maka dari itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum `f(x) =2x^3`. Setiap fungsi ini memiliki turunan `f'(x) =6x^2`. Jadi, turunan fungsi `f(x) =2x^3` adalah  `f'(x) =6x^2`. Menentukan fungsi `f(x)` dari `f'(x)`, berarti menentukan anti turunan dari `f'(x)`. Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika `f(x)` adalah fungsi umum yang bersifat `f'(x) = f(x)`, maka `f(x)` merupakan antiturunan atau integral dari `F'(x) = f(x)`.

Pengertian Integral Tak Tentu

Lebih lanjut mengenai fungsi turunan, misalnya suatu fungsi `f` merupakan turunan dari fungsi `F`, maka `F'(x) = \frac{\ d  F(x) }{\d (x) }`.

Misal: 

`F(x) =x^2,`           `maka  f(x) =2x`

`F(x) =x^2-5,`   `maka  f(x) =2x`

`F(x) =x^2+10,` `maka  f(x) =2x`

`F(x) =x^2+c,`   `maka  f(x) =2x`, (`c=konstanta`)

Integral tak tentu (Indefinite Integral) merupakan suatu fungsi baru yang turunannya merupakan fungsi aslinya dan tidak memiliki batas. Integral tak tentu di nyatakan sebagai `\int f(x)  dx` (dibaca "integral dari `f(x)` terhadap `x`") adalah fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan:

                               ` \int f(x)=F(x) +C`

Dengan: 

`F(x)` dinamakan fungsi integral umum dan`F'(x)=f(x)`,

`f(x)` dinamakan fungsi integran,

`c` adalah konstanta pengintegralan (konstanta real sebarang). 

Rumus-Rumus Dasar Integral Tak Tentu

Misalkan `f(x)` dan `g(x)` masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan c adalah konstanta real, maka :

1. `\int  dx=x+C`

2. `\int  k  dx=kx+C`

3. `\int  { f(x)\pm g(x) }  dx=\int f(x)  dx \pm \int g(x)  dx`

4. `\int  k  f(x) dx=k \int  f(x)  dx`

5. Dalam kasus `n\ne-1`, maka :

       a. `\int  x^{n}  dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C`

       b. `\int  k  x^{n}  dx=\frac{k}{n+1}x^{n+1}+C`

6. Dalam kasus `n=-1`, maka :

       a. `\int \frac{1}{x}=ln  x+C`

       b. `\int \frac{k}{x}=k  ln  x+C`

Contoh Soal Integral Tak Tentu

Agar lebih paham materi mengenai integral tak tentu, mari kita simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Soal-1

Tentukanlah hasil dari integral di bawah ini. 

`\int  5x^4  dx`.

Pembahasan: 

`\int  5x^4  dx``=\frac{5}{4+1}x^{4+1}+c`

                `=\frac{5}{5}x^5+c`       

                `=x^5+c`

Soal-2

Tentukanlah hasil dari integral di bawah ini. 

`\int (x+2) ^2  dx`

Pembahasan:

`\int (x+2) ^2  dx=\int (x^2+4x+4) dx`

`=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{4}{1+1}x^{1+1}+\frac{4}{0+1}x^{0+1}+c`

`=\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2+\frac{4}{1}x^1+c`

`=\frac{1}{3}x^3+2x^2+4x+c`

Soal-3

Tentukanlah hasil dari integral dibawah ini. 

`\int \frac {4x^5-3x^3+x^2}{x^2}  dx`

Pembahasan:

`\int \frac {4x^5-3x^3+x^2}{x^2} dx =\int (4x^3-3x+1)  dx`

`=\frac {4}{3+1}x^(3+1) - \frac {3}{1+1} x^(1+1) + \frac {1}{0+1} x^(0+1) + c`

`=\frac {4}{4} x^4 - \frac {3}{2} x^2 + \frac {1}{1} x^1 + c`

`=x^4 - \frac {3}{2} x^2 + x + c`

Nah demikian tadi penjelasan mengenai integral tak tentu beserta rumusnya dan contoh soal. Semoga bermanfaat~